[2015-2016高考真题数列专题汇总] 高考数列真题

来源:大学励志 发布时间:2019-07-04 18:14:06 点击:
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2015-2016年高考数学专题

1. 【2015高考新课标1,文7】已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若

S 8=4S 4,则a 10=( )

(A )

1719

(B ) (C )10 (D )12 22

【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式

2. 【2015高考新课标2,理16】设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则S n =________.

【考点定位】等差数列和递推关系

3. 【2015高考重庆,理2】在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6= ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.

4. 【2015高考陕西,文13】中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________

【考点定位】等差数列的性质.

b ,c 成等比数列,

5. 【2015高考广东,文13】若三个正数a ,其中a =5+

c =5-则b = . 【考点定位】等比中项.

6. 【2015高考广东,理10】在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则

a 2+a 8=.

【考点定位】等差数列的性质.

7. 【2015高考北京,理6】设{a n }是等差数列. 下列结论中正确的是( )

A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3a 2,则a 2> D .若a 10 考点定位:本题考点为等差数列及作差比较法,以等差数列为载体,考查不等关系问题,重 点是对知识本质的考查.

8. 【2015高考福建,文16】若a , b 是函数f (x )=x -px +q (p >0, q >0) 的两个不同的

2

零点,且a , b , -2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p +q 的值等于________.

【考点定位】等差中项和等比中项.

9. 【2015高考浙江,理3】已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,

a 8成等比数列,则( )

A. a 1d >0, dS 4>0 B. a 1d 0, dS 4

a 1d 0

本题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列的概念等知识点,同时考查了学生的运算求 解能力,属于容易题,

10. 【2015高考浙江,文10】已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1=d =. 【考点定位】1. 等差数列的定义和通项公式;2. 等比中项.

11. 【2015高考安徽,文13】已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+的前9项和等于 .

【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.

12. 【2015高考安徽,理14】已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9, a 2a 3=8,则数列

1

(n ≥2),则数列{a n }2

{a n }的前n 项和等于.

【考点定位】1. 等比数列的性质;2. 等比数列的前n 项和公式.

13. 【2015江苏高考,11】数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列{的前10项和为 【考点定位】数列通项,裂项求和

214. 【2015高考新课标1,理17】S n 为数列{a n }的前n 项和. 已知a n >0,a n +a n =4S n +3.

1

a n

(Ⅰ)求{a n }的通项公式;

(Ⅱ)设b n =

1

,求数列{b n }的前n 项和. a n a n +1

【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法 15. 【2015江苏高考,20】(本小题满分16分)

设a 1, a 2, a 3, a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0) 的等差数列 (1)证明:21, 22, 23, 24依次成等比数列;

(2)是否存在a 1, d ,使得a 1, a 22, a 33, a 44依次成等比数列,并说明理由;

n +k n +2k n +3k (3)是否存在a 1, d 及正整数n , k ,使得a 1n , a 2依次成等比数列,并说 , a 3, a 4

a a a a

明理由.

【考点定位】等差、等比数列的定义及性质,函数与方程

16. 【2015高考福建,文17】等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =2

a n -2

+n ,求b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b 10的值.

【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法.

17. 【2015高考北京,文16】(本小题满分13分)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,

a 4-a 3=2.

(I )求{a n }的通项公式;

(II )设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7,问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 考点:等差数列、等比数列的通项公式.

18. 【2015高考安徽,文18】已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9, a 2a 3=8. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;

(Ⅱ)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =

a n +1

,求数列{b n }的前n 项和T n .

S n S n +1

【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前n 项和,以及利用裂项相消法求和.

19. 【2015高考安徽,理18】设n ∈N *,x n 是曲线y =x 交点的横坐标.

(Ⅰ)求数列{x n }的通项公式;

22

(Ⅱ)记T n =x 12x 3 x 2n -1,证明T n ≥

2n +2

+1在点(1,2) 处的切线与x 轴

1

. 4n

【考点定位】1. 曲线的切线方程;2. 数列的通项公式;3. 放缩法证明不等式.

20. 【2015高考广东,文19】(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N*.已知a 1=1,a 2=

35

,a 3=,且当n ≥2 24

时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1. (1)求a 4的值; (2)证明:⎨a n +1-

⎧⎩1⎫

a n ⎬为等比数列; 2⎭

(3)求数列{a n }的通项公式.

考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式. 21. 【2015高考广东,理21】数列{a n }满足a 1+2a 2+ na n =4- (1) 求a 3的值;

(2) 求数列{a n }前n 项和T n ;

(3) 令b 1=a 1,b n =

n +2*

, n ∈N ()n -1

2

T n -1⎛111⎫

+ 1+++⋅⋅⋅+⎪a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和n ⎝23n ⎭

S n 满足S n

【考点定位】前n 项和关系求项值及通项公式,等比数列前n 项和,不等式放缩.

22. 【2015高考湖北,文19】设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q .已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (Ⅰ)求数列{a n },{b n }的通项公式; (Ⅱ)当d >1时,记c n =

a n

,求数列{c n }的前n 项和T n . b n

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题.

23. 【2015高考湖南,文19】(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知

a 1=1, a 2=2,且a n +1=3S n -S n +1+3,(n ∈N *) ,

(I )证明:a n +2=3a n ; (II )求S n 。

【考点定位】数列递推关系、数列求和

24。【2015高考湖南,文21】 (本小题满分13分)函数f (x ) =ae cos x (x ∈[0,+∞) ,记x n 为f (x ) 的从小到大的第n (n ∈N ) 个极值点。 (I )证明:数列{f (x n )}是等比数列;

(II )若对一切n ∈N , x n ≤f (x n ) 恒成立,求a 的取值范围。 【考点定位】恒成立问题;等比数列的性质

*

*

2

⎧1⎫25. 【2015高考山东,文19】已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列⎨⎬的前n

a ∙a ⎩n n +1⎭

项和为

n

. 2n +1

(I )求数列{a n }的通项公式;

(II )设b n =(a n +1)⋅2n ,求数列{b n }的前n 项和T n .

a

【考点定位】1. 等差数列的通项公式;2. 数列的求和、“错位相减法”.

26. 【2015高考山东,理18】设数列{a n }的前n 项和为S n . 已知2S n =3n +3. (I )求{a n }的通项公式;

(II )若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n .

【考点定位】1、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系;2、特殊数列的求和问题. 27. 【2015高考陕西,文21】设f n (x ) =x +x 2+ +x n -1, n ∈N , n ≥2.

(I)求f n "(2);

11⎛2⎫⎛2⎫

(II)证明:f n (x ) 在 0, ⎪内有且仅有一个零点(记为a n ),且0

23⎝3⎭⎝3⎭

n

【考点定位】1. 错位相减法;2. 零点存在性定理;3. 函数与数列.

28. 【2015高考陕西,理21】(本小题满分12分)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,⋅⋅⋅,x n 的各项和,其中x >0,n ∈N,n ≥2. (I )证明:函数F n (x )=f n (x )-2在

⎛1⎫

,且,1⎪内有且仅有一个零点(记为x n )

2⎝⎭

x n =

11n +1

+x n ; 22

(II )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )

与g n (x )的大小,并加以证明.

考点:1、等比数列的前n 项和公式;2、零点定理;3、等差数列的前n 项和公式;4、利用导数研究函数的单调性.

29. 【2015高考四川,理16】设数列{a n }的前n 项和S n =2a n -a 1,且a 1, a 2+1, a 3成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式; (2)记数列{

11

成立的n 的最小值. 的前n 项和T n ,求得|T n -1|

1000a n

【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算求解能力.

30. 【2015高考天津,文18】(本小题满分13分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列, {b n }是等差数列, 且a 1=b 1=1, b 2+b 3=2a 3, a 5-3b 2=7. (I )求{a n }和{b n }的通项公式;

(II )设c n =a n b n , n ? N *, 求数列{c n }的前n 项和.

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和, 考查基本运算能力. 31. 【2015高考天津,理18】(本小题满分13分)已知数列{a n }满足

a n +2=qa n (q 为实数,且q ≠1) ,n ∈N *,a 1=1, a 2=2,且 a 2+a 3, a 3+a 4, a 4+a 5成等差数列.

(I)求q 的值和{a n }的通项公式; (II)设b n =

log 2a 2n

, n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和. a 2n -1

【考点定位】等差数列定义、等比数列及前n 项和公式、错位相减法求和.

32. 【2015高考浙江,文17】(本题满分15分)已知数列{a n }和{b n }满足,

a 1=2, b 1=1, a n +1=2a n (n∈N *),

111

b 1+b 2+b 3+ +b n =b n +1-1(n∈N *) .

23n

(1)求a n 与b n ;

(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .

【考点定位】1. 等差等比数列的通项公式;2. 数列的递推关系式;3. 错位相减法求和. 33. 【2015高考浙江,理20】已知数列{a n }满足a 1=(1)证明:1≤

12

且a n +1=a n -a n (n ∈N *) 2

a n

; ≤2(n ∈N *)

a n +1

2

(2)设数列a n 的前n 项和为S n ,证明

{}

S 11

(n ∈N *). ≤n ≤

2(n +2) n 2(n +1)

【考点定位】数列与不等式结合综合题.

34. 【2015高考重庆,文16】已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=(Ⅰ) 求{a n }的通项公式,

(Ⅱ) 设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }前n 项和T n . 【考点定位】1. 等差数列,2. 等比数列.

35. 【2015高考重庆,理22】在数列{a n }中,a 1=3, a n +1a n +λa n +1+μa n =0(n ∈N +)

2

9. 2

(1)若λ=0, μ=-2, 求数列{a n }的通项公式; (2)若λ=

111

证明: k ∈N , k ≥2, μ=-1, 2+

k 03k 0+12k 0+1

【考点定位】等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法. ,考查探究能力和推理论证能力,考查创新意识.

36【2015高考上海,文23】 已知数列{a n }与{b n }满足a n +1-a n =2(b n +1-b n ) ,n ∈N *. (1)若b n =3n +5,且a 1=1,求数列{a n }的通项公式;

(2)设{a n }的第n 0项是最大项,即a n 0≥a n (n ∈N ) ,求证:数列{b n }的第n 0项是最大项;

(3)设a 1=3λ

*

*

a m 1

∈(,6) . 6 a n

【考点定位】数列的递推公式,等差数列的性质,常数列,数列的最大项,指数函数的单调性.

37【2015高考上海,理22】已知数列{a n }与{b n }满足a n +1-a n =2(b n +1-b n ),n ∈N*. (1)若b n =3n +5,且a 1=1,求数列{a n }的通项公式;

(2)设{a n }的第n 0项是最大项,即a n 0>a n (n ∈N*),求证:数列{b n }的第n 0项是最大项; (3)设a 1=λ

M

∈(-2, 2). m

【考点定位】等差数列,数列单调性

2016年高考数学试题分项版—数列

1、(2016年高考新课标Ⅰ卷理)数列{a n }前9项的和为27, a 10=8, 则a 100= (A )100 (B )99 (C )98 (D )97

S n =S ,2、(2016年高考上海卷理)无穷等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,且lim n →∞

下列条件中,使得2S n

A. a 1>0, 0.60, 0.7

3、(2016年高考天津理)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q

(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件

4、(2016年高考四川文理)公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2015年

全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30)

( A )2018年 (B )2019年 (C )2020年 (D )2021年

5、(16年高考新课标Ⅲ卷理)“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,

m 项为1,且对任意k ≤2m ,a 1, a 2, , a k 中0的个数不少于1的个数. 若m =4,则不同的

“规范01数列”共有( ) (A )18个

(B )16个

(C )14个

(D )12个

6、(2016年高考上海文)若对任意的n ÎN *,S n Î{2,3}则k 的最大值为7、(16年高考新课标Ⅰ卷理)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …an 的最大值为 .

8、(16年高考浙江理)数列{a n }的前n 项和为S n . 若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1S 5S n 为{a n }的前n 项和,9、(2016年高考上海卷理)数列{a n }由k 个不同的数组成,若对任意n ∈N *,S n ∈{2,3},则k 的最大

值为___________

2

=-3,S 5=10,10、(2016年高考江苏卷) 已知{a n }是等差数列,{Sn }是其前n 项和. 若a 1+a 2

则a 9的值是11、(2016年高考北京卷理)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=_______..

12、(2016年高考新课标Ⅰ卷文){a n }是公差为3的等差数列, 数列{b n }满足

1

b 1=1,b 2=,a n b n +1+b n +1=nb n ,.

3

(I )求{a n }的通项公式; (II )求{b n }的前n 项和.

13、(2016年高考新课标Ⅱ卷文)差数列{a n }中,a 3+a 4=4, a 5+a 7=6.

(Ⅰ)求{a n }的通项公式;

(Ⅱ) 设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

14、(2016年高考新课标Ⅱ卷理)

,S 7=28. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=1

b n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.

(Ⅰ)求b 1,b 11,b 101;

(Ⅱ)求数列{b n }的前1 000项和. 15、(2016年高考新课标Ⅲ卷文)

2

已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n -(2a n +1-1) a n -2a n +1=0.

(I )求a 2, a 3;

(II )求{a n }的通项公式. 16、(2016年新课标Ⅰ理数)

已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (I )证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (II )若S 5=

31

,求λ. 32

17、(2016年高考北京卷文)已知{a n }是等差数列,{b n }是等差数列,且b 2=3,b 3=9,

a 1=b 1,a 14=b 4.

(1)求{a n }的通项公式;

(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和. 18、(2016年高考山东卷文)

已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1. (I )求数列{b n }的通项公式;

(a n +1) n +1(II )令c n =. 求数列{c n }的前n 项和T n . n

(b n +2)

19、(2016年高考山东卷理)

已知数列{a n } 的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1. (Ⅰ)求数列{b n }的通项公式;

(a n +1) n +1(Ⅱ)令c n =. 求数列{c n }的前n 项和T n .

(b n +2) n

20、(2016年高考北京卷理)

设数列A :a 1 ,a 2 ,…a N (N ≥). 如果对小于n (2≤n ≤N ) 的每个正整数k 都有a k <a n ,则称n 是数列A 的一个“G 时刻”. 记“G (A ) 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列A :-2,2,-1,1,3,写出G (A ) 的所有元素; (2)证明:若数列A 中存在a n 使得a n >a 1,则G (A ) ≠∅ ;

(3)证明:若数列A 满足a n -a n -1 ≤1(n=2,3, …,N), 则G (A ) 的元素个数不小于a N -a 1. 21、

(2016年高考江苏卷)

100}. 对数列{a n }n ∈N *和U 的子集T ,若T =∅, 定义S T =0; 若记U ={1,2, …,

T ={t 1, t 2, …,t k },定义S T =a t 1+a t 2+…+a t k . 例如:T ={1, 3}, 时66,S T =1a +S T =30.

(1)求数列{a n }的通项公式;

()

+a 3

a n ∈N *是公比为3的等比数列,且当T ={2,4}时,a . 6现设{n }

()

k },求证:S T

(3)设C ⊆U , D ⊆U , S C ≥S D , 求证:S C +S C D ≥2S D . 22、(2016年高考四川文)

已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +1=qS n +1 ,其中q >0,

n ∈N * .

(Ⅰ)若a 2, a 3, a 2+a 3 成等差数列,求{a n }的通项公式;

y 2

(Ⅱ)设双曲线x -2=1 的离心率为e n ,且e 2=2 ,求e 12+e 22+⋅⋅⋅+e n 2

a n .

2

23、(2016年高考四川理)

已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +1=qS n +1 ,其中q>0,n ∈N * . (Ⅰ)若2a 2, a 3, a 2+2 成等差数列,求{a n }的通项公式;

4n -3n 5y 2

(Ⅱ)设双曲线x -2=1 的离心率为e n ,且e 2= ,证明:e 1+e 2+⋅⋅⋅+e n > n -1

33a n .

2

24、(2016年高考天津文已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且

112

. -=, S 6=63

a 1a 2a 3

(Ⅰ) 求{a n }的通项公式;

(Ⅱ) 若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项,求数列2n 项和.

25、(2016年高考浙江卷文)列{a n }的前n 项和为S n . 已知S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N . (I )求通项公式a n ;

(II )求数列{a n -n -2}的前n 项和.

26、(2016年高考天津理){a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n +1的等差中项.

22*

(Ⅰ) 设c n =b n +1-b n , n ∈N ,求证:{c n }是等差数列;

2n

*

{(-1)

n

b n 2的前

}

(Ⅱ) 设a 1=d , T n =

∑(-1)b n , n ∈N ,求证:∑

2

*

k =1

n

11

n

27、(2016年高考浙江卷理)列{a n }满足a n -

n -1

a 1-2,n ∈N*; (I )证明:a n ≥2

a n +1

≤1,n ∈N*. 2

()

⎛3⎫**

(II )若a n ≤ ⎪,n ∈N,证明:a n ≤2,n ∈N.

⎝2⎭

n

28、(2016年高考上海文)

对于无穷数列{a n }与{b n },记A ={x |x =a ,n ∈N *},B ={x |x =b n ,n ∈N *},若同

*

时满足条件:①{a n },{b n }均单调递增;②A ⋂B =∅且A B =N ,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列.

(1)若a n =2n -1,b n =4n -2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由;

(2)若a n =2且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数列{b n }的前16项的和; (3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16=36,求{a n }与{b n }得通

n

项公式.

29、(2016年高考上海理)

(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.

若无穷数列{a n }满足:只要a p =a q (p , q ∈N *) ,必有a p +1=a q +1,则称{a n }具有性质P .

(1)若{a n }具有性质P ,且a 1=1, a 2=2, a 4=3, a 5=2,a 6+a 7+a 8=21,求a 3; (2)若无穷数列{b n }是等差数列,无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列,b 1=c 5=1,

b 5=c 1=81,a n =b n +c n 判断{a n }是否具有性质P ,并说明理由;

(3)设{b n }是无穷数列,已知a n +1=b n +sin a n (n ∈N ) . 求证:“对任意a 1,{a n }都具有性质

*

P ”的充要条件为“{b n }是常数列”.

30、30、(2016年高考浙江文理)点列

{A n }, {B n }分别在某锐角的两边上,且

A n A n +1=A n +1A n +2, A n ≠A n +2, n ∈N *,

B n B n +1=B n +1B n +2, B n ≠B n +2, n ∈N *.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合) 若d n =A n B n ,S n 为△A n B n B n +1的

面积,则( )

2

A. {S n }是等差数列 B. S n 是等差数列 C. {d n }是等差数列 2

D. d n 是等差数列

{}

{}

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