解析几何大题解题模版套路_高中数学解析几何解题方法

来源:成语大全 发布时间:2019-07-04 18:14:56 点击:
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高考专题:解析几何常规题型及方法

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x 1, y 1) ,(x 2, y 2) ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

y 2

=1。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 典型例题 给定双曲线x -22

的轨迹方程。

2y 12y 22=1,x 2-=1。 分析:设P 1(x 1, y 1) ,P 2(x 2, y 2) 代入方程得x -222

1

两式相减得

(x 1+x 2)(x 1-x 2) -1(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0。 2

又设中点P (x,y ),将x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y 代入,当x 1≠x 2时得

2x -y -y 22y ·1=0。 2x 1-x 2

y 1-y 2y -1, =x 1-x 2x -2

22 又k = 代入得2x -y -4x +y =0。

当弦P 1P 2斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是2x -y -4x +y =0

说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 22

x 2y 2

典型例题 设P(x,y)为椭圆2+2=1上任一点,F 1(-c , 0) ,F 2(c , 0) 为焦点,∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β。 a b

(1)求证离心率e =sin(α+β) ; sin α+sin β

3 (2)求|PF 1|+PF 2|的最值。

3

分析:(1)设|PF 1|=r 1,|PF 2=r 2,由正弦定理得r 1r 2c 。 =2=sin αsin βsin(α+β)

得 r 1+r 22c =, s i n α+s i n βs i n α(+β)

e =c s i n α(+β) = a s i n α+s i n β

(2)(a +ex ) 3+(a -ex ) 3=2a 3+6ae 2x 2。

当x =0时,最小值是2a ;

323 当x =±a 时,最大值是2a +6e a 。 3

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程y 2=p (x +1) (p >0) ,直线x +y =t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

p (1)证明:抛物线的准线为1:x =-1- 4

由直线x+y=t与x 轴的交点(t ,0)在准线右边,得 t >-1-p ,而4t +p +4>0 4

⎧x +y =t 由⎨2消去y 得x 2-(2t +p ) x +(t 2-p ) =0

⎩y =p (x +1)

∆=(2t +p ) 2-4(t 2-p ) =p (4t +p +4) >0

故直线与抛物线总有两个交点。

(2)解:设点A(x1,y 1) ,点B(x2,y 2)

∴x 1+x 2=2t +p ,x 1x 2=t 2-p

OA ⊥OB ,∴k OA ⨯k OB =-1

则x 1x 2+y 1y 2=0

又y 1y 2=(t -x 1)(t -x 2)

∴x 1x 2+y 1y 2=t 2-(t +2) p =0

t 2

∴p =f (t ) = t +2

又p >0,4t +p +4>0得函数f (t ) 的定义域是 (-2,0) ⋃(0,+∞)

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

典型例题

已知抛物线y 2=2px(p>0),过M (a,0)且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ,|AB|≤2p

(1)求a 的取值范围;(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,求△NAB 面积的最大值。

分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围;对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值, 即:“最值问题,函数思想”。

解:(1)直线L 的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得:设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A

⎧4(a +p ) -4a 2>0⎪(x 1,y 1),B(x2,y 2) ,则⎨x 1+x 2=2(a +p ) , 又y 1=x1-a,y 2=x2-a,

⎪2⎩x 1x 2=a

∴|AB |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=2[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]=p (p +2a )

00, ∴0

解得: -p p

(2)设AB 的垂直平分线交AB 与点Q ,令其坐标为(x 3,y 3),则由中点坐标公式得:

x 3=x 1+x 2

2=a +p , y 3=y 1+y 2(x 1-a ) +(x 2-a ) ==p . 22

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又△MNQ 为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|=2P ,所以S △NAB =122|AB |⋅|QN |=p ⋅|AB |≤p ⋅2p =2p 2, 即△NAB 面积的最大值为2P 2。 222

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上。若点A (-1,0)和点B (0,8)关于L 的对

称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程。

分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。

设出它们的方程,L :y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)

设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:

k 2-12k 16k 8(k 2-1) , -2, 2A (2),B (2)。因为A 、B 均在抛物线上,代入,消去p ,得:k 2-k-1=0.解得:k +1k +1k +1k +1/k=1+52,p=. 25

1+54x, 抛物线C 的方程为y 2=x. 25所以直线L 的方程为:y=

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :x 2+y2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|

的比等于常数λ(λ>0), 求动点M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

分析:如图,设MN 切圆C 于点N ,则动点M 组成的集合是:P={M||MN|=λ|MQ|},

由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M 点坐标代入,可得:

(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0.

当λ=1时它表示一条直线;当λ≠1时,它表示圆。这种方法叫做直接法。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) x 2y 2

+=1,试确定m 的取值范围,使得对于直线y =4x +m ,椭圆C 上有不同两典型例题 已知椭圆C 的方程43

点关于直线对称。

分析:椭圆上两点(x 1, y 1) ,(x 2, y 2) ,代入方程,相减得3(x 1+x 2)(x 1-x 2) +

4(y 1+y 2) (y 1-y 2) =0。

又x =x 1+x 2y +y 2y -y 21,y =1,k =1=-,代入得y =3x 。 22x 1-x 24

⎧y =3x 又由⎨解得交点(-m , -3m ) 。

y =4x +m ⎩

(-m ) 2(-3m ) 222+

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k 1·k 2=y 1·y 2=-1来处理或用向量的坐标运算来处理。 x 1·x 2

典型例题 已知直线l 的斜率为k ,且过点P (-2, 0) ,抛物线C :y 2=4(x +1) ,直线l 与抛物线C 有两个不同的交点(如图)。

(1)求k 的取值范围;

(2)直线l 的倾斜角θ为何值时,A 、B 与抛物线

相垂直。 分析:(1)直线y =k (x +2) 代入抛物线方程得2222k x +(4k -4) x +4k -4=0, 由∆>0,得-1

y 1y 2=k 2(x 1+2)(x 2+2) =4,焦点为O (0, 0) 。

由k OA ·k OB y 1y 22k 2,==2=-1,得k =±2x 1x 2k -1

2 2θ=arctan 22或θ=π-

B:解题的技巧方面

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x +4y +m =0与圆x +y +x -2y =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,求22

m 的值。

解: 圆x +y +x -2y =0过原点,并且OP ⊥OQ , 22

∴PQ 是圆的直径,圆心的坐标为M (-

又M (-1,1) 21,1) 在直线3x +4y +m =0上, 2

15 ∴3⨯(-) +4⨯1+m =0,∴m =-即为所求。 22

评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且OP ⊥OQ ,PQ 是圆的直径,圆心在直线3x +4y +m =0上,而是设P (x 1,y 1) 、Q (x 2,y 2) 再由OP ⊥OQ 和韦达定理求m ,将会增大运算量。

评注:此题若不能挖掘利用几何条件∠OMP =90︒,点M 是在以OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O ,焦点在y 轴上的椭圆与直线y =x +1相交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ ,|PQ |=求此椭圆方程。

解:设椭圆方程为ax 2+by 2=1(a >b >0) ,直线y =x +1与椭圆相交于P (x 1,y 1) 、Q (x 2,y 2) 两点。 ,2

⎧y =x +1 由方程组⎨2消去y 后得 2ax +by =1⎩

(a +b ) x 2+2bx +b -1=0

2b b -1 ∴x 1+x 2=-,x 1x 2=a +b a +b

由k OP ⋅k OQ =-1,得y 1y 2=-x 1x 2 (1)

又P 、Q 在直线y =x +1上,

(2) ⎧y 1=x 1+1,⎨ ⎩y 2=x 2+1, (3)

∴y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1) =x 1x 2+(x 1+x 2) +1

把(1)代入,得2x 1x 2+(x 1+x 2) +1=0,

即2(b -1) 2b -+1=0 a +b a +b

化简后,得

a +b =2 (4)

由|PQ |=522,得(x 1-x 2) +(y 1-y 2) = 22

55,(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=,44 2b 24(b -1) 5() -=a +b a +b 4∴(x 1-x 2) 2=

把(2)代入,得4b -8b +3=0,解得b =213或b = 22

31或a = 22

31 由a >b >0,得a =,b =。 22 代入(4)后,解得a =

3x 2y 2

+=1 ∴所求椭圆方程为22

评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。

三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C 1:x 2+y 2-4x +2y =0和C 2:x 2+y 2-2y -4=0的交点,且圆心在直线l :2x +4y -1=0上的圆的方程。

解:设所求圆的方程为:

x 2+y 2-4x +2y +λ(x 2+y 2-2y -4) =0

即(1+λ) x 2+(1+λ) y 2-4x +2(1-λ) y -4λ=0,

2λ-1,) 1+λλ+1

2λ-11+4⋅-1=0,解得λ=,代入所设圆的方程得x 2+y 2-3x +y -1=0为 又C 在直线l 上,∴2⋅1+λλ+13 其圆心为C (

所求。

评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x 2y 2

典型例题 P 为椭圆2+2=1上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值a b

及此时点P 的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是:把直线方程y =kx +b 代入圆锥曲线方程中,得到型如

ax 2+bx +c =0的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则|AB |=+k 2·|x A -x B |=+k 2,若|a |

直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x -y +1=0被椭圆x 2+4y 2=16所截得的线段AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

x 2y 2

+=1的两个焦点,AB 是经过F 1的弦,若|AB |=8,求值|F 2A |+|F 2B | 例 F 1、F 2是椭圆259

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A (3,2)为定点,点F 是抛物线y 2=4x 的焦点,点P 在抛物线y 2=4x 上移动,若|PA |+|PF |取得最小值,求点P 的坐标。

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